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      量子力學的矩陣表示 21頁
    1. 賣家[上傳人]:sh****d
    2. 文檔編號:108395079
    3. 上傳時間:2019-10-23
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      • 1、4.2量子力學的矩陣表示一、態的表示二、算符的表示三、量子力學公式的矩陣表示用力學量完全集 的正交、歸一和完備的本征態矢量的集合作基底的表象,稱為表象。為書寫簡便,用代表,用代表,用代表本征值譜. 把表象簡稱為表象。以分立譜為例本征方程: 基底: 正交歸一化: 封閉關系: 一、態的表示態在表象上的表示為一個列矩陣矩陣元 代表態在基底上的投影,或稱為展開系數。它可在坐標表象上計算態和的內積可以通過列矩陣相乘得到其中,.這是因為若 ,則稱態和正交。而則是指態是歸一化的?;自谧陨肀硐笊系谋硎緸?第行基底的正交歸一化寫成 .態向基底的展開寫成展開系數.對于連續譜情況本征方程: 基底: 正交歸格化: 封閉關系: 態在表象上的表示矩陣成為本征值的函數態和的內積為 因為歸一化條件為.而基底在自身表象上表示為.二、算符的表示1算符用矩陣表示算符是通過對態的作用定義的。因為態用列矩陣表示,所以算符應該用矩陣表示。矩陣是算符在表象上的表示矩陣元為可以在坐標表象上計算。下面會看到,在坐標表象上矩陣元的計算公式為式中.【例】用包括Hamilton量在內的力學量完全集的共同本征態的集合作基底的表象,稱為能量表。

        2、象。在一維諧振子的能量表象上,計算坐標,動量和本身的表示矩陣。利用矩陣元公式得坐標,動量和的表示矩陣2在自身表象上力學量算符的表示在自身表象上力學量算符的表示是一個對角矩陣,而對角元素就是這個力學量的本征值。因此,求解力學量的本征值問題,可以通過選擇合適的基底,使這一力學量算符的表示矩陣成為對角矩陣。對角元素就是待求的本征值,而所用的基底就是待求的本征態。3Hermite共軛矩陣和Hermite矩陣(1)Hermite共軛矩陣矩陣的Hermite共軛矩陣定義為:將轉置且矩陣元取復共軛.例如,.若算符的表示矩陣為,則Hermite共軛算符的表示矩陣必為的Hermite共軛矩陣 證明:即,.(2)Hermite矩陣若,則稱為Hermite矩陣。若為Hermite矩陣,則Hermite矩陣的非對角元是關于主對角線復共軛反射對稱的,對角元為實數。(對角元)例如,的Hermite矩陣一定取下面形式其中和為實數。Hermite算符的表示矩陣必為Hermite矩陣。4算符在坐標和動量表象上的表示(1)在坐標表象上的表示例如Hamilton量表示為注意,式中的函數代表“矩陣”是對角的,只在積分運算中起。

        3、作用。上述動量的表示可作如下理解將上式中的被積函數寫成則原式為即為什么被積函數不寫成的形式呢?這完全是為了符合基本假定.為導出算符在坐標表象上的表示,首先把按和作展開。如果二元函數在附近可作展開則算符可展開為然后計算矩陣元,即可得到.【例】證明坐標表象上矩陣元 的計算公式為其中.證明:【例】證明證明:要證明的第二式是第一式的復數共軛。(2)動量表象例如在動量表象上Hamilton量表示為.【例】一維諧振子能量本征方程的動量表象形式為.證明:其中代入后積分,即證?!纠吭O質量為的粒子處于勢場中, 為非零常數。求與能量對應的本征波函數。解.顯然無束縛態解。本征方程坐標表象形式為而動量表象形式為比坐標表象形式容易求解。通過Fourie變換可得本征態的坐標表象表示.【思考】證明三、量子力學公式的矩陣表示下面列出量子力學重要公式在表象上的矩陣形式。1薛定諤方程的矩陣形式其中, ,證明: ,2力學量平均值公式的矩陣形式,證明: 【例】在自身表象上,寫出力學量在態上的平均值。解. 3本征方程的矩陣形式有非零解的條件稱為“久期方程”這是一個次冪代數方程,為表象空間的維數。求解久期方程可得個實根,構成本征值譜把 代回本征方程可得相應本征態,若有重根,則出現簡并?!纠恳阎谡粴w一化基底 所張開的三維空間中,體系能量算符的表示矩陣為求能量的本征值和本征態。解.在以為基底的表象上,的本征方程為久期方程為解得能量本征值,和,分別代入本征方程并利用歸一化條件可得到相應本征波函數, , , , 。

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